Question

8．函数y=ax²+bx+c与y=kx的图象如图所示，有以下结论：①b²-4ac＞0；②a+b+c=k；③方程ax²+bx+c=kx一定有两个不相等的实数根；④当1＜x＜3时，ax²+（b-k）x+c＜0其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据二次函数图象与系数的关系：抛物线与x轴交点个数与△=b²-4ac的关系、抛物线与直线的交点的坐标与函数解析式的关系、当x=1是两个函数的函数值的关系、函数图象与其解析式及对应不等式的关系逐一分析4个选项．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点，
∴△=b²-4ac＜0
故：选项①错误
（2）由图象可知，抛物线与直线有一个交点的横坐标为1，
即：当x=1时，y_抛=a+b+c，y_直线=k
则：a+b+c=k
故：选项②正确．
（3）∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=ax2+bx+c}\\{y=kx}\end{array}\right.$有两组不相等的实数解
∴方程ax²+bx+c=kx一定有两个不相等的实数根；
故：选项③正确
（4）∵ax²+（b-k）x+c＜0
∴ax²+bx+c＜kx
∵当1＜x＜3时，函数y=ax²+bx+c的函数值小于函数y=kx的函数值
∴当1＜x＜3时，ax²+bx+c＜kx
即：当1＜x＜3时，ax²+（b-k）x+c＜0
故：选项④正确．
故：选C

点评 本题考查了：二次函数图象与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系及两个函数的交点与方程组的关系、函数值的大小与不等式的关系．