Question

13．（1）如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB=CD，试说明FG=EG．
（2）若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，（1）中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BE、FD，首先由题意推出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，则由全等三角形的判定定理HL证得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四边形BEDF为平行四边形，即可推出BD与EF互相平分，即FG=EG；
（2）同（1）的证明过程．

解答 解：（1）连接BE、FD，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△BFA与Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BD与EF互相平分，
∴FG=EG；

（2）上述结论还成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
在Rt△BFA与Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BD与EF互相平分，
∴FG=EG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．