Question

已知直线y=-

3

4

x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D，设运动时间为t秒．
（1）C点坐标为

 

；（用t来表示）
（2）求CD的长；
（3）设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线上点的坐标性质直接代入求出即可；
（2）根据过点D作DE⊥CP于点E，得出△DEC∽△AOB，进而得出CD的长；
（3）要使OC边上的高H的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时，CO最短，此时OC的长为

12

5

，∠BCO=90°，进而得出t的值．

解答：解：（1）∵C点在直线y=-

3

4

x+3上，
∴设运动时间为t秒，则C（t，-

3

4

t+3）；
故答案为：（t，-

3

4

t+3）；

（2）以C为顶点的抛物线解析式为y=（x-t）²-

3

4

t+3，
由（x-t）²-

3

4

t+3=-

3

4

x+3，
解得：x₁=t，x₂=t-

3

4

，
过点D作DE⊥CP于点E，
则∠DEC=∠AOB=90°，
DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴

DE

AO

=

CD

AB

，
∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-

3

4

）=

3

4

，
∴CD=

DE×BA

AO

=

3 4 ×5

4

=

15

16

；

（3）∵CD=

15

16

，CD边上的高=

3×4

5

=

12

5

，
∴S_△COD=

1

2

×

15

16

×

12

5

=

9

8

，
∴S_△COD为定值，
要使OC边上的高H的值最大，只要OC最短，
∵当OC⊥AB时，CO最短，此时OC的长为

12

5

，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴

OP

BO

=

OC

BA

，
∴OP=

OC×BO

BA

=

12 5 ×3

5

=

36

25

，即t=

36

25

，
当t为

36

25

秒时，h的值最大．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出相似三角形进而得出线段长度是解题关键．