Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=

1

2

∠BOD．
（1）求证：

BC

=

BD

；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接OC，证明∠BOD=∠BOC，即可证得；
（2）设OD=r，则OE=AE-r=8-r，在Rt△ODE中利用勾股定理即可得到一个关于r的方程，从而求解．

解答：解：（1）连接OC．
∵∠BOC=2∠BAC，
又∵∠BAC=

1

2

∠BOD，
∴∠BOD=∠BOC，
∴

BC

=

BD

，

（2）∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE═

1

2

CD=4，
设OD=r，则OE=AE-r=8-r，
在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8-r，
∵OD²=DE²+OE²，即r²=4²+（8-r）²，
解得r=5．

点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．