Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠CAD=2∠BAD，若BD=3，CD=8．求AB的长．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：作∠DAC的平分线交BC于点E，作EF⊥AC于点F．易证△ADB≌△ADE≌△AFE，然后根据全等三角形的对应边相等推知BD=DE=EF=3，AD=AF，设AD=AF=y，则在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得AD的长度，进而可得出AB的长．

解答：解：作∠DAC的平分线交BC于点E，作EF⊥AC于点F．则∠BAD=∠DAE=∠EAF．
∵∠CAD=2∠BAD，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ADB与△ADE中，

∠BAD=∠EAD AD=AD ∠ADB=∠ADE

，
∴△ADB≌△ADE（ASA）．
同理可得，△ADB≌△ADE≌△AFE，
∴BD=DE=EF=3，AD=AF．
∵EC=CD-DE=5，
∴FC=

52-32

=4，
设AD=AF=y，则在Rt△ACD中，x²+8²=（x+4）²，
解得，x=6，
∴AD=6，
∴AB=

AD2+BD2

=

62+32

=3

5

．

点评：本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．