Question

已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．
（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；
（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；
（3）若BC²=2DE²，求∠A的度数．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=

1

2

BC=4，EM=

1

2

BC=4，即可求出答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）求出EM=

2

EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．

解答：解：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵M是线段BC的中点，BC=8，
∴DM=

1

2

BC=4，EM=

1

2

BC=4，
∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；

（2）证明：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，
∴DM=BM，EM=CM，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，
∴∠EMC+∠DMB=180°-120°=60°，
∴∠DME=180°-120°=60°；

（3）解：过M作MN⊥DE于N，
∵DM=EM，
∴EN=DN=

1

2

DE，∠ENM=90°，
∵EM=DM=

1

2

BC，DN=EN=

1

2

DE，BC²=2DE²，
∴（2EM）²=2（2EN）²，
∴EM=

2

EN，
∴sin∠EMN=

EN

EM

=

2

2

，
∴∠EMN=45°，
同理∠DMN=45°，
∴∠DME=90°，
∴∠DMB+∠EMC=180°-90°=90°，
∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，
∴∠ABC+∠ACB=

1

2

（180°-∠DMB+180°-∠EMC）=135°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=45°．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．