Question

6．如图，点F是正方形ABCD的边BC上一点，以BF为对角线作正方形BEFG，连接AG，CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）若AD=4，GF=$\sqrt{2}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AG=CE，只要证明△ABG≌△CBE即可．
（2）作GM⊥AB于M，求出MG、AM，在RT△AMG中利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形BEFG是正方形，
∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=∠GBE=90°，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABG=∠CBE}\\{BG=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=CE．
（2）解：作GM⊥AB于M．
∵∠ABG=∠GBF=45°，
∴∠MBG=∠MGB=45°，
∵BG=GF=$\sqrt{2}$，AD=AB=4，
∴BM=MG=1，AM=AB-BM=3，
∴AG=CE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴CE=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型．