Question

3．如图，已知⊙O的半径OA⊥OB，过点A的直线交OB于点P，交⊙O于点Q，过Q点引⊙O的切线交OB的延长线于点C，求证：CP=CQ．

Answer 1

分析 连接OQ，由QC为圆O的切线，得到∠OQC为90°，即∠OQA+∠PQC=90°，由OA与OB垂直，根据垂直的定义得到∠BOA=90°，所以∠A+∠APO=90°，再根据对顶角相等及等角的余角相等，得到∠CPQ=∠CQP，根据“等角对等边”得证．

解答 证明：连接OQ，
∵OQ是切线，
∴∠OQC=90°，
∴∠AQO+∠PQC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA=90°，
∴∠A+∠APO=90°，又∠APO=∠CPQ，
∴∠A+∠CPQ=90°，
由OA=OQ得：∠A=∠AQO，
∴∠CPQ=∠CQP，
∴PC=QC，

点评 此题主要考查了切线的性质，以及直角三角形的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．