Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+12与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，过点B作直线AB的垂线，交x轴正半轴于点C，且线段OC比线段OA长7个单位．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P从点A出发，沿线段AB以4个单位/秒的速度向点B运动，同时，点Q从点C出发，沿线段CB以3个单位/秒的速度向点B运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，连接PQ，将线段PQ绕点P逆时针旋转到PE，使∠QPE=∠ABO，PE与BC交于点I，过点Q作QD⊥PE于点D，连接BD，设运动时间为t秒，求在运动过程中线段BD的长；
（3）在（2）的条件下，过PQ的中点F作FH⊥BD，垂足为点H，求t为何值时，FH=BD．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先证明OAB∽△OBC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OC的长（利用k表示），即可列方程求得k的值，则利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）设F是PQDB所在圆的圆心，则F是PQ的中点，作CD的中垂线MN必过F．再作PG⊥AO，QL⊥OC，FN是梯形GHQP的中位线，即M是BD的中点，N的横坐标可以求得，则BM即可求得，从而求得BD的长；
（3）FN是梯形PGLQ的中位线，且FH=12-FN，根据梯形的中位线定理即可列方程求得．

解答：解：（1）∵A（-

12

k

，0），B（0，12），k＞0．
∴OA=

12

k

，OB=12．
易证△OAB∽△OBC，
∴

OA

OB

=

OB

OC

，
∴OC=

OB2

OA

=12k，OC-OA=7，
∴12k-

12

k

=7，解得：k=

4

3

或-

3

4

（舍去）．
∴k=

4

3

，
∴A（-9，0），C（16，0）．
则直线BC的解析式是：y=-

3

4

x+12；
（2）∵P、Q、D、B四点共圆，
∴∠DAQ=∠DPQ=∠ABO=∠C，
∴BD∥AC．
设F是PQDB所在圆的圆心，则F是PQ的中点，作CD的中垂线MN必过F．
再作PG⊥AO，QL⊥OC，FN是梯形GHQP的中位线，
Rt△APG和Rt△QCL三边的比是3：4：5．
∴AG=

3

5

AP=

3

5

×4t=

12t

5

，CL=

4

5

QC=

4

5

×3t=

12t

5

，
即AG=CL，
∴AN=CN
∴N是AC的中点，N（

7

2

，0），
∴BD=2BM=7．
（3）作PG⊥x轴于点G，QL⊥x轴于点L．
则

PG

OB

=

AP

AB

=

4t

15

，
则PG=

16t

5

，同理，QL=

9t

5

．
∵F是PQ的中点，作FH⊥BD，
∴FN是梯形PGLQ的中位线，
∴FN=

1

2

（PG+QL）=

5t

2

，
则FH=12-FN，
当FH=BD时，12-

5t

2

=7，
解得：t=2．

点评：本题是一次函数与梯形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质的综合应用，正确作出辅助线，构造梯形是关键．