Question

1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，-4）
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的$\frac{1}{2}$，得到△A₂B₂C₂，请在y轴右侧画出△A₂B₂C₂，并求出∠A₂C₂B₂的正弦值．

Answer 1

分析 （1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A₁B₁C₁；
（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A₂B₂C₂，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．

解答 解：（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A₁B₁C₁，如图1所示，


（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的$\frac{1}{2}$，得到△A₂B₂C₂，请在y轴右侧画出△A₂B₂C₂，如图2所示，

∵A（2，2），C（4，-4），B（4，0），
∴直线AC解析式为y=-3x+8，与x轴交于点D（$\frac{8}{3}$，0），
∵∠CBD=90°，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}+B{D}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$，
∴sin∠DCB=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{4-\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∵∠A₂C₂B₂=∠ACB，
∴sin∠A₂C₂B₂=sin∠DCB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．