Question

6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若BF=2，DF=$\sqrt{10}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代换得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到结论；
（2）连接BD，过D作DH⊥BF于H，由弦切角定理得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF与△FDB都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=$\frac{1}{2}$BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到HD=$\sqrt{D{F}^{2}-F{H}^{2}}$=3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，
∴∠BOD=∠A，
∵∠AED=∠ABC，
∴∠BOD+∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，
延长DO交⊙O于G，连接BG，
则∠G=∠C，
∵∠G+∠GDB=90°，
∵DE与⊙O相切，
∴∠GDB+∠BDE=90°，
∴∠G=∠BDE，
∴∠BDE=∠BCD，
∵∠AED=∠ABC，
∴∠AFC=∠DBF，
∵∠AFC=∠DFB，
∴△FDB是等腰三角形，
∴FH=BH=$\frac{1}{2}$BF=1，则FH=1，
∴HD=$\sqrt{D{F}^{2}-F{H}^{2}}$=3，
在Rt△ODH中，OH²+DH²=OD²，
即（OD-1）²+3²=OD²，
∴OD=5，
∴⊙O的半径是5．

点评 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．