Question

13．如图，BC=CD，∠BCA-∠ACD=60°，求证：AD+CD≥AB．

Answer 1

分析 在四边形ADBC内作∠BCM=60°，CM交AB于N，在射线CM上取一点F，使FB=FC，连接FB，FA，于是得到△FBC是等边三角形，求出CD=BC=FB=FC，由于∠BCA-∠ACD=60°，于是得到∠BCA-60°=∠ACD，即∠FCA=∠ACD，证得△ACF≌△ACD，根据全等三角形的性质得到AF=AD，若F与N不重合，（∠B≠60°），AD+CD＞AB，若F与N重合，（∠B=60°），AD+CD=AB，于是得到结论．

解答 证明：在四边形ADBC内作∠BCM=60°，CM交AB于N，在涉嫌CE上取一点F，使FB=FC，连接FB，FA，
∵FB=FC，∠FCB=60°，
∴△FBC是等边三角形，
∴CD=BC=FB=FC，
∵∠BCA-∠ACD=60°，
∴∠BCA-60°=∠ACD，
即∠FCA=∠ACD，
在△ACF≌△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}\\{∠FCA=∠ACD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACD，
∴AF=AD，
若F与N不重合，（∠B≠60°），AD+CD＞AB，
若F与N重合，（∠B=60°），AD+CD=AB，
综上所述AD+CD≥AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．