Question

18．如图，在等边三角形中，D为BC上一点，BD=2CD，DE⊥AB于E，CE交AD于P．
（1）求证：BE=CD；
（2）求△APE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到BC=AC，∠CBE=∠ACD=60°，由DE⊥AB，得到∠BDE=90°-∠CBD=30°，根据直角三角形的性质得到BD=2CD，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△CBE≌△ACD，根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠CAD，于是得到∠APE=∠CAD+∠ACP=∠BCE+∠ACP=∠ACB=60°．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠CBE=∠ACD=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°-∠∠CBD=30°，
∴BD=2CD，
∵BD=2CD，
∴BE=CD；

（2）解：在△CBE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠CBE=∠ACD=60°}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△ACD，
∴∠BCE=∠CAD，
∴∠APE=∠CAD+∠ACP=∠BCE+∠ACP=∠ACB=60°，
即∠APE=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．