阿基米德折弦定理:如图1.AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦).BC＞AB.M是$\widehat{ABC}$的中点.则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点.即CD=AB+BD．下面是运用“截长法证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明:如图2.在CB上截取CG=AB.连接MA.MB.MC和MG．∵M是$\widehat{ABC}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是$\widehat{ABC}$的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．

下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是$\widehat{ABC}$的中点，
∴MA=MC
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为$\widehat{AC}$上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是2+2$\sqrt{2}$．

分析（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）方法一、首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
方法二、先求出BE，再用（1）的结论得出BE=CD+DE，即可得出结论．

解答（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是$\widehat{ABC}$的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中$\left\{\begin{array}{l}{BA=GC}\\{∠A=∠C}\\{MA=MC}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）解：方法一、如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACD}\\{BF=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
则△BDC的周长是2+2$\sqrt{2}$．
故答案为：2+2$\sqrt{2}$．
方法二、∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠ACB，
∴由（1）的结论得，BE=DE+CD，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，AB=2，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴DE+CD=$\sqrt{2}$，
∴则△BDC的周长是BC+BD+CD=BC+BE+DE+CD=2+2$\sqrt{2}$．
故答案为：2+2$\sqrt{2}$．