Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm．
（1）求证：AE=BE；                                                
（2）求AB的长；
（2）若点P是AC上的一个动点，则△BDP周长的最小值=9+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据平分线的性质和三角形内角和解答即可；
（2）根据勾股定理进行解答即可；
（3）根据等腰三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠ABC=90°-∠A=60°
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=30°
∴∠ABE=∠A
∴AE=BE   
（2）∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴ED=$\frac{1}{2}$AE=3cm
∴$AD=\sqrt{A{E}^{2}-D{E}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{3}$，
∵AE=BE，DE⊥AB
∴AB=2AD=6$\sqrt{3}$
（3）若点P是AC上的一个动点，则△BDP周长的最小值时为△BDP等腰三角形，
可得最小值为：9+3$\sqrt{3}$．
故答案为：9+3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．