已知:如图.抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.O是坐标原点.已知点B的坐标是(3.0).tan∠OAC=3,(1)求该抛物线的函数表达式,(2)点P在x轴上方的抛物线上.且∠PAB=∠CAB.求点P的坐标,(3)若平行于x轴的直线与抛物线交于点M.N.①若以MN为直径的圆与x轴相切.求该圆的半径,②若Q(m.4)是直线MN上一动点.当以点C.B.Q为顶点的三角形的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知：如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；
（3）若平行于x轴的直线与抛物线交于点M、N（M点在N点左侧），
①若以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径；
②若Q（m，4）是直线MN上一动点，当以点C、B、Q为顶点的三角形的面积等于6时，请直接写出符合条件的m值，为3或11．

分析（1）先求得点B和点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b的值即可；
（2）由题意可知tan∠PAB=3，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），然后将点P的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（3）先求得抛物线的对称轴为x=1．①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得R的值；当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），N（r+1，-r），将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得r的值；②先求得BC的解析式和BC的长，然后依据三角形的面积公式可求得BC边上的高线长为2$\sqrt{2}$，然后求得直线BC与y=4的交点D的坐标，当点Q在点D的左侧时，过点Q作QE⊥BC，则EQ=2$\sqrt{2}$，然后在△QDE中，利用特殊锐角三角函数值可求得QD的长，可得到点Q的坐标，同理当点Q在点D的右侧时，可求得点Q′的坐标，故此可求得m的值．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=3，
∴OA=1，即点A的坐标为（-1，0），
将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数表达式是y=x²-2x-3；
（2）∵∠PAB=∠CAB，
∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，
∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），
∴3（x+1）=x²-2x-3，得x=-1（舍去）或x=6，当x=6时，y=21，
∴点P的坐标为（6，21）；
（3）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
∴R=（ R+1-1）²-4，解得：R=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$（负值舍去），
∴R=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$．
当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
∴N（r+1，-r），
∴-r=（r+1-1）²-4，解得：r=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$（负值舍去），
∴r=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∴圆的半径为：$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．
②设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=1，b=-3，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
勾股定理可知：BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵△QCB的面积为6，
∴BC边上的高线的长度=$\frac{6×2}{3\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
如图1所示：即直线BC与y=4的交点为D，当点Q在点D的左侧时，过点Q作QE⊥BC，则EQ=2$\sqrt{2}$

将y=0代入得直线BC的解析式得：x-3=4，解得x=7，
∴点D的坐标为（7，4）．
∵QD∥x轴，
∴∠QDC=∠OBC=45°．
∴QD=$\sqrt{2}$QE=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．
∴Q（3，4）．
∴m=3．
如图1所示，当Q位于点D的右侧时（Q′处），过点Q′作Q′F⊥BC，垂足为F．则FQ=2$\sqrt{2}$，
同理可知：DQ′=4．
∴点Q′的坐标为（11，4）．
∴m=11．
综上所述，m的值为3或11．
故答案为：3或11．