Question

12．如图所示，在矩形ABCD中，E是CD的中点．
（1）求证：C是BF的中点；
（2）求证：BD=DF．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△ADE≌△FCE，即可得出结论；
（2）由SAS证明△BCD≌△FCD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠BCD=90°，
∴∠DAE=∠CFE，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CFE}&{\;}\\{∠AED=∠FEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF，
∴BC=CF，
∴C是BF的中点；
（2）证明：∵∠BCD=90°，
∴∠FCD=90°=∠BCD，
在△BCD和△FCD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=FC}&{\;}\\{∠BCD=∠FCD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FCD（SAS），
∴BD=DF．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．