Question

已知抛物线y=ax²-2ax-4与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求抛物线的对称轴及表达式；
（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=

1

2

，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=

1

2

，联结BE，试问BE与BC是否垂直？请通过计算说明．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据对称轴直线公式求得对称轴；由抛物线解析式求得点C的坐标，然后由三角形面积公式来求a的值；
（2）如图，过P作PH⊥x轴于点H．根据已知条件可设PH=k，AH=2k，则P点的坐标是（2k-2，k）（k＞0）．根据二次函数图象上点的坐标特征得到：k=

1

2

（2k-2）²-（2k-2）-4，则易求k的值；
（3）是．设AE交y轴于点D，通过证明△AOC∽△EBC，推知对应角相等：∠EBC=∠AOC=90°，故BE⊥BC．

解答：（1）解：∵抛物线y=ax²-2ax-4，
∴与y轴交点C（0，-4）
∴对称轴为直线x=

2a

2a

=1，
∵抛物线与x轴交于点A、B，且△ABC的面积为12，∴AB=6，
∴点A（-2，0），B（4，0），
∵抛物线过点A，
∴0=4a+4a-4，∴a=

1

2

，
∴抛物线表达式为y=

1

2

x²-x-4；

（2）解：如图，过P作PH⊥x轴于点H．
∵tan∠PAB=

1

2

，
∴设PH=k，AH=2k，
∴P点的坐标是（2k-2，k）（k＞0）．
∵点P在抛物线上，
∴k=

1

2

（2k-2）²-（2k-2）-4，
∴k=

7

2

，
∴P（5，

7

2

）；

（3）是．
证明：设AE交y轴于点D，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴tan∠ACO=

1

2

，
∵tan∠PAB=

1

2

，
∴∠PAB=∠ACO，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠PAB+∠OAC=90°，
∴PA⊥AC，
∵tan∠BCE=

1

2

，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠ACE=∠OCB
∵B（4，0），C（0，-4），
∴∠OCB=45°，∠ACE=45°，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴AO=2，OC=4，
∴AC=2

5

，
∴CE=2

10

，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴BC=4

2

在△AOC和△EBC中，

AC

OC

=

2 5

4

=

5

2

，

CE

CB

=

2 10

4 2

=

5

2

，
∴

AC

OC

=

CE

CB

，
又∠ACO=∠BCE，
∴△AOC∽△EBC，
∴∠EBC=∠AOC=90°，
∴BE⊥BC．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及点的坐标与图形性质．综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法．