Question

15．如图在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，-6），B（8，0）三点在⊙P上，M为劣弧OB的中点．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标；
（2）求证：AM是∠OAB的角平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N、M的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H，根据垂径定理，三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）根据等弧所对的圆周角相等即可证明．
（3）如图2中，连接PM，易知PM⊥OB于H，只要证明AN=AB，可得点N坐标，求出OH、MH即可得M坐标．

解答 解：（1）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．

∵O（0，0），A（0，-6），B（8，0），
∴OB=8，OA=6，
又∵OA⊥OB，
∴AB=10，
∴∠AOB=90°，
∴AB为⊙P的直径，
∴⊙P的半径为5，
∵PH⊥OB，PH过圆心O，
∴H为OB的中点，
又∵P为AB的中点，
∴PH=$\frac{1}{2}$OA=3，OH=$\frac{1}{2}$OB=4，
∴P的坐标为（4，-3）．

（2）∵M为劣弧OB的中点，
∴$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠OAM=∠BAM，
∴AM是∠OAB的角平分线．

（3）如图2中，连接PM，易知PM⊥OB于H，

由（1）知，AB 为⊙P的直径，
∴∠AMB=90°，
∴AM⊥BM，
由（2）知，AM是∠OAB的角平分线，
∴∠ABM=∠ANM，
∴AB=AN=10，
∴ON=4，
∴N的坐标为：（0，4），
由（1）知，PH=3，
∴MH=2，
∴M的坐标为（4，2）．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．