Question

3．如图所示，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）证明：△ABE≌△BCF；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

Answer 1

分析 （1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，根据AAS可证明△ABE≌△BCF；
（2）设AP=x，则PD=4-x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，得出△PDM∽△BAP，列出关于x的一元二次函数，求出DM的最大值．

解答 解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠BCF}\\{∠AEB=∠BFC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS）；

（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴$\frac{DM}{AP}$=$\frac{PD}{BA}$，
即$\frac{DM}{4-x}$=$\frac{x}{4}$，
∴DM=$\frac{x（4-x）}{4}$=x-$\frac{1}{4}$x²，
当x=2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值为1．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用等，运用三角形相似的判定和性质以及二次函数的最值是解答本题的关键．