Question

20．某企业上年度的年利润为200万元，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，投人成本增加的比例为x（0＜x＜1）．现有甲、乙两种方案可供选择，通过市场调查后预测，若选用甲方案，则年利润y万元与投入成本增加的比例x的函数关系式为y=f（x）=-20x²+60x+200（0＜x＜1）；若选用乙方案，则y与x的函数关系式为y=g（x）=-30x²+65x+200（0＜x＜1），试根据投入成本增加的比例x，讨论如何选择最合适的方案．

Answer 1

分析 分f（x）＜g（x）、f（x）=g（x）以及f（x）＞g（x）三种情况考虑，当f（x）＜g（x）时，可得出关于x的一元二次不等式，解不等式结合0＜x＜1即可得出x的取值范围；当f（x）=g（x）时，可得出关于x的一元二次方程，解方程结合0＜x＜1即可得出x的值；当f（x）＞g（x）时，可得出关于x的一元二次不等式，解不等式结合0＜x＜1即可得出x的取值范围．综上即可得出结论．

解答 解：①当f（x）＜g（x）时，即-20x²+60x+200＜-30x²+65x+200，
解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，选择乙种方案年利润高；
②当f（x）=g（x）时，即-20x²+60x+200=-30x²+65x+200，
解得：x=$\frac{1}{2}$或x=0，
∵0＜x＜1，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，选择甲、乙两种方案年利润一样多；
③当f（x）＞g（x）时，即-20x²+60x+200＞-30x²+65x+200，
解得：x＜0或x＞$\frac{1}{2}$，
∵0＜x＜1，
∴当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，选择甲种方案年利润高．
综上可知：当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，选择乙种方案年利润高；当x=$\frac{1}{2}$时，选择甲、乙两种方案年利润一样多；当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，选择甲种方案年利润高．

点评 本题考查了二次函数的应用、解一元二次不等式以及解一元二次方程，分f（x）＜g（x）、f（x）=g（x）以及f（x）＞g（x）三种情况考虑是解题的关键．