Question

9．已知二次函数y=x²-kx+k-1（k＞2）．
（1）求证：抛物线y=x²-kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点；
（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若tan∠OAC=3，求抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=（k-2）²，利用k＞2，可判断△＞0，于是根据△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点即可得到结论；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程x²-kx+k-1=0得x=k-1或x=1，利用k＞2，点A在点B的左侧得到A（1，0），B（k-1，0），再表示出C（0，k-1），然后根据正切的定义得到$\frac{k-1}{1}$=3，再解方程求出k即可得到抛物线的表达式．

解答 （1）证明：∵△=（-k）²-4×1×（k-1）=（k-2）²，
又∵k＞2，
∴（k-2）²＞0，即△＞0．
∴抛物线y=x²-kx+k-1与x轴必有两个交点；
（2）解：∵抛物线y=x²-kx+k-1与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，有x²-kx+k-1=0，解得x=k-1或x=1，
∵k＞2，点A在点B的左侧，
∴A（1，0），B（k-1，0），
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，k-1），
在Rt△AOC中，∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=3，
∴$\frac{k-1}{1}$=3，解得k=4．
∴抛物线的表达式为y=x²-4x+3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了三角函数的定义．