Question

20．如图，抛物线y=ax²+2x与x轴交于点B，其对称轴为x=3．
（1）求a的值和顶点A的坐标；
（2）过点O作直线l，使l∥AB，点P是l上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先依据抛物线的对称性得到B（6，0），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到抛物线的解析式，将点A的横坐标代入可求得点A的纵坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线AB的解析式，从而得到直线l的解析式，于是得到点P坐标为（t，-t）．当点P在第四象限时，由S=S_△ABO+S_△OBP得到S与t的函数关系，然后由S的取值范围可求得t的范围；当点P在第二象限时，（t＜0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M，由S=S_梯形ANMP-S_△PMO+S_△ABN得到S与t的关系式，从而可求得t的取值范围；
（3）由（2）可知t的最大值为3，于是可求得点P的坐标，分别过点O和点P作l的垂线，交抛物线与点Q₁、Q₂、Q₃，接下来，求得OQ₃、Q₁Q₂的解析式，最后将直线与抛物线的解析式联立可解得点Q₁、Q₂、Q₃的坐标．

解答 解：（1）∵点B与点O关于x=3对称，
∴B（6，0）．
∴36a+12=0，解得a=-$\frac{1}{3}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+2x．
当x=3时，y=-$\frac{1}{3}$×9+2×3=3．
∴顶点A的坐标为（3，3）．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{3k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=6．
∴直线AB的解析式为y=-x+6．
∵直线l与AB平行，
∴直线l的解析式为y=-x．
∵点P是l上一动点且横坐标为t，
∴点P坐标为（t，-t）．
当点P在第四象限时，（t＞0）如图1所示．

S=S_△ABO+S_△OBP=$\frac{1}{2}$×6×3+$\frac{1}{2}$×6×t=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18．
∴-3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．
当点P在第二象限时，（t＜0），如图2所示：过点P作PM⊥x轴，垂足为M．

S=S_梯形ANMP-S_△PMO+S_△ABN=$\frac{1}{2}$（3-t）（3-t）-$\frac{1}{2}$×（-t）×（-t）+$\frac{1}{2}$×3×3=-3t+9．
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18．
∴-3≤t＜3．
又∵t＜0，
∴-3≤t＜0．
综上所述，t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3．
（3）当t=3时，点P的坐标为（3，-3）．

如图3所示：过点P作Q₁Q₂⊥OP，交抛物线与Q₁，Q₂两点，过点O作OQ₃⊥OP交抛物线与Q₃．
∵直线l的解析式为y=-x，
∴直线OA的解析式y=x．
将y=x与y=-$\frac{1}{3}$x²+2x联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去）
∴Q3的坐标为（3，3）．
设Q₁Q₂的解析式为y=x+b，将点P的坐标代入得：3+b=-3，
解得b=-6，
∴直线Q₁Q₂的解析式为y=x-6．
将y=x-6与y=-$\frac{1}{3}$x²+2x联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-6}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴Q₁（-3，-9），Q₂（6，0）．
综上所述点Q的坐标为（3，3）或（-3，-9）或（6，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，不规则图形的面积、直线与抛物线的交点，得到S与t的函数关系式是解答问题（2）的关键，求得直线OQ₃、Q₁Q₂的解析式是解答问题（3）的关键．