题目内容
18．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c过点B（8，6），与X输交于点A（2，0）、点D，对称轴与x轴交于点C．线段BC的延长线与抛物线交于点E，连结BD、DE．（1）求b、c的值．
（2）求抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c的顶点坐标及点D的坐标．
（3）求△BDE的面积．
（4）点P是抛物线上一点，若△ADP的面积与△BCD的面积之比为1：4，求点p的坐标．
分析 （1）把B（8，6），A（2，0）代入抛物线解析式即可解决问题．
（2）令y=0，解方程即可得到点D坐标，利用配方法求出顶点坐标即可．
（3）求出直线BC解析式，利用方程组求出点E坐标，由S△BDE=S△CDE+S△CDB即可解决问题．
（4）设点P坐标为（m，$\frac{1}{2}$m2-4m+6），列出方程即可解决问题．
解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{32+8b+c=6}\\{2+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$．
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x2-4x+6=$\frac{1}{2}$（x-4）2-2，
∴抛物线顶点坐标为（4，-2），
令y=0，则$\frac{1}{2}$x2-4x+6=0，解得x=2或6，
∴点D坐标为（6，0）．
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{8k+b=6}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=$\frac{3}{2}$x-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标为（3，-$\frac{3}{2}$），
∴S△BDE=S△CDE+S△CDB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×2×6=$\frac{15}{2}$，
（4）设点P坐标为（m，$\frac{1}{2}$m2-4m+6），
由题意$\frac{1}{2}$×4×|$\frac{1}{2}$m2-4m+6|=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×2×6，
∴$\frac{1}{2}$m2-4m+6=$±\frac{3}{4}$，
解得m=$\frac{8±\sqrt{22}}{2}$或m=$\frac{8±\sqrt{10}}{2}$，
∴点P坐标为（$\frac{8+\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（$\frac{8-\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（$\frac{8+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{8-\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数交点坐标，学会转化的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．
如图，a、b、c是△ABC的三边长，且$\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$，BD=c，则∠CAB，∠CBA的关系是（ ）| A． | ∠CAB＞2∠CBA | B． | ∠CBA=2∠CAB | C． | ∠CAB＜2∠CBA | D． | 不确定 |
求作一点P，使其到A、B两点的距离相等，且到∠MON两边的距离相等．（只要保留作图痕迹，说明所求作的点，不必写出作图过程）
如图，AB∥CD∥EF∥GH，AN与BM的交点O在EF上，则图三角形的个数比梯形的个数少16．
如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠C=70°，则∠BAC=70°．| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |