Question

8．如图，a、b、c是△ABC的三边长，且$\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$，BD=c，则∠CAB，∠CBA的关系是（　　）

• A． ∠CAB＞2∠CBA
• B． ∠CBA=2∠CAB
• C． ∠CAB＜2∠CBA
• D． 不确定

Answer 1

分析 式子$\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$化简后得$\frac{a}{b}=\frac{b}{a+c}$，在证三角形相似即可．

解答 解：∵$\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{b}{a+c}$  即：$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}$，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠CAB=∠D，
∵∠CBA是△ABD的一个外角，
∴∠CBA=∠BAD+∠D，
∵AB=DB=c，
∴∠BAD=∠D，
∴∠CBA=2∠D，
∴∠CBA=2∠CAB，
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定及比例的性质，从已知的比例式入手，利用分比的性质进行变形，得出比例式，恰好是证明两三角形相似的对应边成比例，且夹角是公共角，从而得出两三角形相似，得出角的关系，与三角形的外角定理及等腰三角形的性质相结合，得出结论．