Question

18．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．
（1）若四边形ABCD是菱形，则它的中点四边形EFGH一定是矩形；
（2）若四边形ABCD的面积为S₁，中点四边形EFGH的面积记为S₂，则S₁与S₂的数量关系是S₁=2S₂；
（3）在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请在答题卡的图形上画出一种拼接示意图，并写出对应全等的三角形．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质、矩形的判定定理可以证得四边形EFGH是矩形．
（2）由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK与△ABM相似，△AEN与△ABM相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到△EBK面积与△ABM面积之比为1：4，且△AEN与△EBK面积相等，进而确定出四边形EKMN面积为△ABM的一半，同理得到四边形MKFP面积为△MBC面积的一半，四边形QMPG面积为△DMC面积的一半，四边形MNHQ面积为△ADM面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD面积的一半；
（3）利用中点四边形的性质得出拼接方法，进而得出全等三角形．

解答 （1）解：矩形．理由如下：
如图，连接AC、BD．
∵点E、F分别是菱形AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，且EF∥AC．
同理，HG=$\frac{1}{2}$AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是 矩形．
故答案是：矩形；

（2）如图2，设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，
∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴$\frac{{S}_{△EBK}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{2}$，S_△AEN=S_△EBK，
∴$\frac{{S}_{四边形EKMN}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{2}$，同理可得$\frac{{S}_{四边形KFPM}}{{S}_{△BCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四边形QGPM}}{{S}_{△DCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四边形HQMN}}{{S}_{△DAM}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{四边形ABCD}}$=$\frac{1}{2}$，
∴四边形ABCD的面积为S₁，中点四边形EFGH的面积记为S₂，则S₁与S₂的数量关系是S₁=2S₂；
故答案是：2；

（3）如图3，四边形NEHM是平行四边形；
△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．

点评 此题主要考查了中点四边形以及相似三角形的判定与性质和矩形的判定以及菱形的性质等知识，利用三角形中位线的性质得出是解题关键．