Question

如图，已知点P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x，沿y轴向上平移，分别交x轴，y轴于C、D两点．CD⊥CP，且CD=2CP，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一次函数图象与几何变换

专题：

分析：设C（a，0），根据题意得出D（0，2a），从而求得OC=a，OD=2a，作PE⊥x轴于E，通过证得△DOC∽△CEP，得出P（2a，

1

2

a），代入y=-x²+3x得到

1

2

a=-（2a）²+3×2a，解得a=

11

8

，从而求得P点坐标．

解答： 解：设C（a，0），根据题意D（0，2a），
即OC=a，OD=2a，
作PE⊥x轴于E，
∵CD⊥CP，
∴∠DCO+∠PCE=90°，∠PCE+∠CPE=90°，
∴∠DCO=∠CPE，
∵∠DOC=∠CEP=90°，
∴△DOC∽△CEP，
∴

OD

CE

=

OC

PE

=

CD

CP

=

2

1

，
∴CE=a，PE=

1

2

a，
∴P（2a，

1

2

a），
∵P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，
∴

1

2

a=-（2a）²+3×2a，解得a=

11

8

，
∴点P的坐标为（

11

4

，

11

16

）．

点评：本题考查了二次函数的性质以及相似三角形的判定和性质．关键是利用三角形相似求得P点横坐标和纵坐标的关系．