Question

【题目】已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，连接EF、CF、AF．

（1）如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果）

（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；

（3）点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠AFC+∠FAC＝90°，见解析；（2）仍成立，见解析；（3）15°

【解析】

（1）由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝60°，由“SAS”可证△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝30°，由直角三角形的性质可得结论；

（2）由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝60°，由“SAS”可证△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝30°，由直角三角形的性质可得结论；

（3）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AE，由等腰三角形的性质可求解．

解：（1）∠AFC+∠FAC＝90°，

理由如下：连接AF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝30°，

∵将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，

∴BE＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBF＝∠ABC，

∴∠ABE＝∠FBC，且AB＝BC，BE＝BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS）

∴∠BAE＝∠BCF＝30°，

∴∠ACF＝90°，

∴∠AFC+∠FAC＝90°；

（2）结论仍然成立，

理由如下：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝30°，

∵将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，

∴BE＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBF＝∠ABC，

∴∠ABE＝∠FBC，且AB＝BC，BE＝BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS）

∴∠BAE＝∠BCF＝30°，

∴∠ACF＝90°，

∴∠AFC+∠FAC＝90°；

（3）∵△ACF是等腰直角三角形，

∴AC＝CF，

∵△ABE≌△CBF，

∴CF＝AE，

∴AC＝AE＝AB，

∴∠ABE＝＝75°，

∴∠EBC＝∠ABE﹣∠ABC＝15°．