题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC与点Q，当点P在何位置时，线段PQ的长度有最大值？
（3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（
，
）；（3）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）
【解析】
（1）点A（﹣1，0），点C（0，3），顶点在直线x＝1上，则c＝3，点B（3，0），故抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；
（2）设点P（t，﹣t2+2t+3），Q（t，﹣t+3）．则PQ＝﹣t2+3t，即可求解；
（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，顶点在直线x＝1上，
∴点B（3，0），
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴c＝3，
设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
∴﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入得： 
，
解得
，
直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3）．
∴PQ＝﹣t2+3t=
，
∴当t＝时，PQ长度的最大值为
，
此时﹣t2+2t+3＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设点M（m，0）、点N（1，n），点C（0，3）、点B（3，0），
①当BC是平行四边形的边时，
点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到B，
同理点C（B）向右平移3个单位向下平移3个单位得到B（C），
即1+3＝m或1﹣3＝m，解得：m＝4或﹣2；
②当BC是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：1+m＝3，解得：m＝2，
故点M的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
