Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC与点Q，当点P在何位置时，线段PQ的长度有最大值？

（3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（，）；（3）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）

【解析】

（1）点A（﹣1，0），点C（0，3），顶点在直线x＝1上，则c＝3，点B（3，0），故抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；

（2）设点P（t，﹣t2+2t+3），Q（t，﹣t+3）．则PQ＝﹣t2+3t，即可求解；

（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，顶点在直线x＝1上，

∴点B（3，0），

∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴c＝3，

设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

∴﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，

将点B、C的坐标代入得： ，

解得，

直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设点P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3）．

∴PQ＝﹣t2+3t=，

∴当t＝时，PQ长度的最大值为，

此时﹣t2+2t+3＝，

∴点P的坐标为（，）；

（3）设点M（m，0）、点N（1，n），点C（0，3）、点B（3，0），

①当BC是平行四边形的边时，

点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到B，

同理点C（B）向右平移3个单位向下平移3个单位得到B（C），

即1+3＝m或1﹣3＝m，解得：m＝4或﹣2；

②当BC是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：1+m＝3，解得：m＝2，

故点M的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．