Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，点P（1+，﹣）；（3）故S有最大值为，此时点P（，﹣）．

【解析】

（1）根据题意得到函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解出b＝﹣2，即可求解；

（2）四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，即可求解；

（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，由点B、C的坐标得到直线BC的表达式，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），再根据ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP即可求解．

（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，

∴y＝x2﹣2x+c，

再将点C（0，﹣3）代入得到c=-3，

,∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，则x＝﹣1或3，

故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）存在，理由：

如图1，四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，

即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，

解得：x＝1（舍去负值），

故点P（1+，﹣）；

（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，

由点B、C的坐标得到直线BC的表达式为：y＝x﹣3，

设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），

ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP

＝×AB×OC+×PH×OB

＝×4×3+×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）

＝﹣x2+x+6，

=

∵-＜0，

∴当x=时，S有最大值为，此时点P（，﹣）．