Question

18．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，点M是劣弧$\widehat{AB}$上的任一点，过M作⊙0的切线分别交PA、PB于点C、D，过圆心O且垂直于OP的直线与PA、PB分别交于点E、F，那么$\frac{EC•FD}{E{F}^{2}}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 先证明△EOC∽△FDO，由此得到EC•FD=EO²，即可得到答案．

解答 解：∵PA、PB、CD都是⊙O的切线，
∴∠OPE=∠OPF，∠OAC=∠OCD，∠ODM=∠ODB，OA⊥PE，OM⊥CD，OB⊥PF，
∴∠OAC=∠OMC=∠OMD=∠OBD=90°，
∵∠COA+∠AOC=90°，∠OCD+∠COM=90°∴∠COA=∠COM，
同理∠DOM=∠DOB，
∵PO⊥EF，
∴∠OPE=∠POF=90°，
∴∠OPE+∠E=90°，∠OPF+∠F=90°，
∴∠E=∠F，
∴PE=PF，∵∠EPO=∠FPO，
∴OE=OF，
∵∠E+∠AOE=90°，∠F+∠FOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∵∠AOE+∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB+∠FOB=180°，
∴2∠BOF+2∠AOC+2∠DOB=180°，
∴∠BOF+∠AOC+∠DOB=90°，
∴∠AOC+∠DOF=90°，∵∠AOC+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DOF，∵∠E=∠F，
∴△EOC∽△FDO，
∴$\frac{EO}{DF}$=$\frac{EC}{FO}$，
∴EC•DF=OE•OF=OE²，
∴$\frac{EC•DF}{E{F}^{2}}$=$\frac{O{E}^{2}}{4O{E}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
故选A．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、确定哪两个三角形相似是解决本题的关键．