Question

9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上点，若AE=1，EM+CM的最小值为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．

解答 解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值，
过B作BN⊥AC于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC，
∵等边△ABC的边长为4，
∴AC=4，∵AE=1，
∴NE=1，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{B{N}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴EM+CM的最小值为$\sqrt{13}$，
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．得出M点位置是解题关键．