Question

20．如图，①，A（4，0），C（0，n）分别是x和y轴上的点，n＞0，以OA，OC为边在第一象限内作矩形OABC，对角线OB，AC，交于点D双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）交边BC于G，交边AB于H．
（1）设直线AC的函数关系式为y=qx+p，请用含n的代数式表示q和p；
（2）求证：AB•BG=BC•BH；
（3）如图②，若上述双曲线经过点D，判断点D是否是双曲线与直线AC唯一的交点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、C坐标代入可得到关于n与p、q的关系式，可求得答案；
（2）可用n和k分别表示出G、H的坐标，则可证得$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BH}{BA}$，可证得结论；
（3）可用n表示出D点坐标，从而可用n表示出k，则可表示出反比例函数的解析式，联立直线AC与反比例函数解析式，可证得结论．

解答 （1）解：∵A（4，0），C（0，n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4q+p=0}\\{p=n}\end{array}\right.$，
∴q=-$\frac{n}{4}$，p=n；
（2）证明：
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，AB=OC=n，
∴G（$\frac{k}{n}$，n），H（4，$\frac{k}{4}$），
∴BG=4-$\frac{k}{n}$，BH=n-$\frac{k}{4}$，
∴$\frac{BG}{BH}$=$\frac{4-\frac{k}{n}}{n-\frac{k}{4}}$=$\frac{4}{n}$=$\frac{BC}{BA}$，
∴AB•BG=BC•BH；
（3）解：点D是双曲线与直线AC唯一的交点，
理由如下：
∵A（4，0），C（0，n），
∴D（2，$\frac{n}{2}$），
∵双曲线经过点D，
∴k=2×$\frac{n}{2}$=n，
∴双曲线解析式为y=$\frac{n}{x}$，
由（1）可知直线AC解析式为y=-$\frac{n}{4}$x+n，
联立直线与双曲线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{n}{4}x+n}\\{y=\frac{n}{x}}\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-4x+4=0，
∵方程x²-4x+4=0有两个相等的实数根，
∴直线AC与双曲线有唯一一个交点D．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象的交点等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中表示出B、G的坐标是解题的关键，在（3）中用n表示出直线AC与双曲线的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．