题目内容
17.平面直角坐标系xOy中,点A、B的横坐标分别为a、a+2,二次函数y=-x2+(m-2)x+2m的图象经过点A、B,且a、m满足2a-m=d(d为常数).(1)若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点.
①当a=1、d=-1时,求k的值;
②若y1随x的增大而减小,求d的取值范围;
(2)当d=-4且a≠-2、a≠-4时,判断直线AB与x轴的位置关系,并说明理由;
(3)点A、B的位置随着a的变化而变化,设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D,线段CD的长度会发生变化吗?如果不变,求出CD的长;如果变化,请说明理由.
分析 (1)①当a=1、d=-1时,m=2a-d=3,于是得到抛物线的解析式,然后求得点A和点B的坐标,最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可;
②将x=a,x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标,然后依据y1随着x的增大而减小,可得到-(a-m)(a+2)>-(a+2-m)(a+4),结合已知条件2a-m=d,可求得d的取值范围;
(2)由d=-4可得到m=2a+4,则抛物线的解析式为y=-x2+(2a+2)x+4a+8,然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标,最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系;
(3)先求得点A和点B的坐标,于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式,则点C(0,-2d),D(0,-4d-8),于是可得到CD的长度.
解答 解:(1)①当a=1、d=-1时,m=2a-d=3,
所以二次函数的表达式是y=-x2+x+6.
∵a=1,
∴点A的横坐标为1,点B的横坐标为3,
把x=1代入抛物线的解析式得:y=6,把x=3代入抛物线的解析式得:y=0,
∴A(1,6),B(3,0).
将点A和点B的坐标代入直线的解析式得:$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=9}\end{array}\right.$,
所以k的值为-3.
②∵y=-x2+(m-2)x+2m=-(x-m)(x+2),
∴当x=a时,y=-(a-m)(a+2);当x=a+2时,y=-(a+2-4)(a+4),
∵y1随着x的增大而减小,且a<a+2,
∴-(a-m)(a+2)>-(a+2-m)(a+4),解得:2a-m>-4,
又∵2a-m=d,
∴d的取值范围为d>-4.
(2)∵d=-4且a≠-2、a≠-4,2a-m=d,
∴m=2a+4.
∴二次函数的关系式为y=-x2+(2a+2)x+4a+8.
把x=a代入抛物线的解析式得:y=a2+6a+8.
把x=a+2代入抛物线的解析式得:y=a2+6a+8.
∴A(a,a2+6a+8)、B(a+2,a2+6a+8).
∵点A、点B的纵坐标相同,
∴AB∥x轴.
(3)线段CD的长度不变.
∵y=-x2+(m-2)x+2m过点A、点B,2a-m=d,
∴y=-x2+(2a-d-2)x+2(2a-d).
∴yA=-a2+(2-d)a-2d,yB=a2+(2-d)a-4d-8.
∴点C(0,-2d),D(0,-4d-8).
∴DC=|-2d-(-4d-8)|=|2d+8|.
∵d为常数,
∴线段CD的长度不变.
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式,求得点A和点B的坐标是解题的关键.
| A. | 5 | B. | 6 | C. | 7 | D. | 11 |
| A. | 2 | B. | 4 | C. | 6 | D. | 8 |
| A. | 70° | B. | 100° | C. | 110° | D. | 120° |