Question

如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是边CD的中点．      
（1）求证：AF⊥CD．
（2）连接BE，AC，AD，标出相应的交点，你能从图中发现什么新的结论？请写出3个，并相互交流．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，连接AC、AD．通过全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△AED，则对应边相等：AC=AD；然后根据等腰三角形“三线合一”的性质证得结论；
（2）如图，连接BE，设BE与AC、AF、AD的交点分别是E、G、F．根据（1）的证明过程知△ABC与△AED关于直线AF对称，根据对称的性质，同（1）证得相关全等三角形，可以推知BE=EF，AE=AF，EG=FG．

解答：（1）证明：如图，连接AC、AD．
在△ABC与△AED中，

AB=AE ∠ABC=∠AED BC=ED

，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD．
又∵F是边CD的中点，
∴AF⊥CD；

（2）解：如图，连接BE，设BE与AC、AF、AD的交点分别是E、G、F．BE=EF，AE=AF，EG=FG．理由如下：
由（1）知，△ABC≌△AED，△ACD的等腰三角形，
∴△ABC与△AED关于直线AF对称，
∴△ABE≌△AEF，△AEG≌△AFG，
∴BE=EF，AE=AF，EG=FG．

点评：本题考查了全等三角形判定与性质．（2）题属于开放题，答案不唯一，根据全等三角形的判定与性质还可以得到∠EAG=∠FAG、∠BAF=∠EAG等结论．