Question

四边形OABC是直角梯形，△CDE是直角三角形，点A在y轴上，点C、E在x轴上，BC∥DE，抛物线y=-

2

3

x2+

4

3

x+2经过A、B、C三点．△CDE沿x轴向左平行移动，移动过程中△CDE与四边形OABC公共部分面积的最大值记为S．
（1）求四边形OABC的面积S₀；
（2）设CE=t，试将S表示为t的函数，并求S=2时t的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当x=0时求出A点坐标，根据A点纵坐标求出B点纵坐标，令函数值为0，求出C点横坐标；
（2）根据题意分三种情况讨论：
①当CD=2CE=2t≤OA=2，即t≤1时，公共部分的最大区域为△CDE；
②当CD＞OA且CE＜OC，即1＜t＜3时，延长AB交CD于F、交DE于G，公共部分的最大区域为梯形CFGE；
③当CE≥OC，即t≥3时，公共部分的最大区域为梯形OABC．

解答：解：（1）x=0时，y=-

2

3

x+

4

3

x+2=2，可得，A（0，2）；
解-

2

3

x+

4

3

x+2=2，得，x=0（舍去）或x=2，可得，B（2，2）；
解-

2

3

x+

4

3

x+2=0得，x=-1（舍去）或x=3，可得，C（3，0）；
∴A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），
S₀=

1

2

（AB+OC）OA=5；
（2）∵BC∥DE，
∴

CD

CE

=

OA

OC-AB

=2，即CD=2CE=2t，
①当CD=2CE=2t≤OA=2，即t≤1时，公共部分的最大区域为△CDE，
∴S=S_△CDE=

1

2

t•2t=t²；
②当CD＞OA且CE＜OC，即1＜t＜3时，延长AB交CD于F、交DE于G，公共部分的最大区域为梯形CFGE，
∴S=S_{四边形CFGE}=

1

2

（CE+FG）CF=

1

2

[t+（t-1）]×2=2t-1；
③当CE≥OC，即t≥3时，公共部分的最大区域为梯形OABC，
∴S=S₀=5；
当S=2时，由以上函数关系式知，S=2t-1=2，此时t=

3

2

．

点评：本题考查了二次函数综合题，利用图形找到最大面积，再进行计算．要进行分类讨论，注意各取值范围．