Question

17．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，延长BE交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F．
①求证：△AEF≌△BCF；
②连接DF，DF与AE有怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；
（2）①由BF⊥AC，∠BAC=45°得出AF=BF，再由条件证明△AEF≌△BCF即可．
②利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出DF=$\frac{1}{2}$BC，再借助①的结论即可．

解答 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠EAB=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠EAB=∠EAC}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠CFB=90°．
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BF．
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CBF}\\{AF=BF}\\{∠AEF=∠BFC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCF（ASA）
②DF=$\frac{1}{2}$AE，
理由：如图，
连接DF，
由①知，△AEF≌△BCF，
∴AE=BC，
在Rt△BCF中，点D是BC中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解答时证明三角形全等是关键．