Question

2．如图1，抛物线y=ax²+b的顶点坐标为（0，-1），且经过点A（-2，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若将抛物线y=ax²+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax²+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）
附阅读材料：
1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点间的距离为|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，这个公式叫两点间距离公式．
例如：已知A，B两点的坐标分别为（-1，2），（2，-2），则A，B两点间的距离为|AB|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（2+2）^{2}}$=5．
2．因式分解：x⁴+2x²y²+y⁴=（x²+y²）²．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）先根据题意表示出翻折后抛物线解析式，再求出y=1时x的值，继而可分-2≤x≤2、-2$\sqrt{2}$≤x＜-2或2$＜x≤2\sqrt{2}$、x＜-2$\sqrt{2}$或x＞2$\sqrt{2}$三种情况，根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案．

解答 解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=ax²-1，
将点A（-2，0）代入，得：4a-1=0，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-1；

（2）如图，

根据题意，当-2≤x≤2时，y=-$\frac{1}{4}$x²+1；
当x＜-2或x＞2时，y=$\frac{1}{4}$x²-1；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$可得点M（-2$\sqrt{2}$，1）、点N（2$\sqrt{2}$，1），
①当-2≤x≤2时，设点P坐标为（a，-$\frac{1}{4}$a²+1），
则PO-PD=$\sqrt{{a}^{2}+（-\frac{1}{4}{a}^{2}+1）^{2}}$-[1-（-$\frac{1}{4}$a²+1）]
=$\frac{1}{4}$a²+1-$\frac{1}{4}$a²
=1；
②当-2$\sqrt{2}$≤x＜-2或2$＜x≤2\sqrt{2}$时，设点P的坐标为（a，$\frac{1}{4}$a²-1），
则PO-PD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$-[1-（$\frac{1}{4}$a²-1）]
=$\frac{1}{4}$a²+1-2+$\frac{1}{4}$a²
=$\frac{1}{2}$a²-1；
③当x＜-2$\sqrt{2}$或x＞2$\sqrt{2}$时，设点P的坐标为（a，$\frac{1}{4}$a²-1），
则PO-PD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$-[（$\frac{1}{4}$a²-1）-1]
=$\frac{1}{4}$a²+1-$\frac{1}{4}$a²+2
=3；
综上，当x＜-2$\sqrt{2}$、-2≤x≤2或x＞2$\sqrt{2}$时，PO与PD的差为定值．

点评 本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的变化及两点间距离公式，分类讨论思想的运用是解题的关键．