Question

17．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于D，AE平分∠BAD，交BC于E，在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使得BM=2DE，连接ME
①求证：ME⊥BC；
②求∠EMC的度数．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质可知∠ABC=∠ACB=45°，由FC⊥BC可知∠ACF=45°，从而得出∠ABE=∠ACF；由∠BAE、∠CAF均为∠EAC的余角可得出∠BAE=∠CAF，结合AB=AC即可得出△ABE≌△ACF，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）①过点E作EQ⊥AB于点Q，由△AEQ≌△AED可得出QE=DE；根据∠BQE=90°和∠QBE=45°可得出∠BEQ=45°、BQ=QE，再由BE=2DE=2QE即可得出∠QEC=45°，由此可得出∠BEM=90°，即ME⊥BC；②设DE=a，则BM=2a，根据等腰直角三角形的性质可用含a的代数式表示AB和BD，由边与边的关系可得出AM=ME，结合MC=MC可证得Rt△MAC≌Rt△MEC，即∠EMC=∠AMC，再根据角与角的关系即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴∠ACF=45°=∠ABE．
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠EAC=90°=∠CAF+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠ABE}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF．
（2）①证明：过点E作EQ⊥AB于点Q，如图所示．

∵AE平分∠BAD，
∴∠QAE=∠DAE，
在△AEQ和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QAE=∠DAE}\\{∠ADE=∠AQE=90°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△AED（AAS），
∴QE=DE．
∵∠BQE=90°，∠QBE=45°，
∴∠BEQ=45°，
∴BQ=QE，
又∵BM=2DE=QE，
∴QM=QE，
∴∠QEM=∠QME=$\frac{90°}{2}$=45°，
∴∠BEM=∠BEQ+∠QEM=90°，
∴ME⊥BC．
②解：设DE=a，则BM=2a．
∵△BEM为等腰直角三角形，
∴BE=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM=$\sqrt{2}$a，
∴BD=BE+DE=（$\sqrt{2}$+1）a．
∵△ABC为等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AB=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$×（$\sqrt{2}$+1）a=（2+$\sqrt{2}$）a，
∵BM=2a，
∴AM=（2+$\sqrt{2}$）a-2a=$\sqrt{2}$a，
∴AM=EM．
在Rt△MAC和Rt△MEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=EM}\\{MC=MC}\end{array}\right.$，
∴Rt△MAC≌Rt△MEC（HL），
∴∠EMC=∠AMC，
又∵∠BME=45°，
∴∠EMC=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）证明△AEQ和△AED全等；（2）①得出∠BEM=90°；②通过边角关系找出AM=EM．本题属于中档题，难度不大，但做题过程较繁琐，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的量是关键．