Question

5．已知二次函数y═ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（-5，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）直接写出顶点D、点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若∠ADC=90°，试确定二次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y═ax²+bx+c（a＞0）与x轴的交点可得解析式为y=a（x+5）（x-1）=ax²+4ax-5a=a（x+2）²-9a，从而得出答案；
（2）由A、D、C的坐标得出AD²、CD²、AC²，根据∠ADC=90°知AD²+CD²=AC²，据此列出关于a的方程，解之可得a的值，从而得出答案．

解答 解：（1）∵二次函数y═ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（-5，0）、B（1，0）两点，
∴抛物线的解析式为y=a（x+5）（x-1）=ax²+4ax-5a=a（x+2）²-9a，
则点D的坐标为（-2，-9a），点C的坐标为（0，-5a）；

（2）∵A（-5，0）、D（-2，-9a）、C（0，-5a），
∴AD²=（-2+5）²+（-9a-0）²=81a²+9，
CD²=（-2-0）²+（-9a+5a）²=16a²+4，
AC²=（0+5）²+（-5a-0）²=25a²+25，
∵∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，即81a²+9+16a²+4=25a²+25，
解得：a=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵a＞0，
∴a=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
则该二次函数的解析式为y=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2）²-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式与抛物线与x的轴的交点问题、勾股定理逆定理，熟练掌握待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．