Question

13．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与x轴交于A（-4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连结AC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）动点M从点A出发，沿AC方向以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度向终点C匀速运动，动点N从点O出发，沿着OA方向以$\frac{3}{2}$个单位/秒的速度向终点A匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t（0＜t≤2）；
①连结MN、NC，当t为何值时，△CMN为直角三角形；
②在两个动点运动的过程中，该抛物线上是否存在点P，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意假设抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），展开化简即可；
（2）①分两种情形①当∠MNC=90°，如图1中，作MH⊥AB于H，当∠NMC=90°时，作MH⊥OA于H，分别构建方程即可解决问题；
②分三种情形分别讨论由题意M（（2t-4，t），N（-$\frac{3}{2}$t，0），设P（m，n）．a、当MN为对角线时，由中点坐标公式可知$\frac{m+0}{2}$=$\frac{2t-4-\frac{3}{2}t}{2}$，$\frac{n+0}{2}$=$\frac{t+0}{2}$，解得m=$\frac{1}{2}$t-4，n=t，可得P（$\frac{1}{2}$t-4，t），把点P坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，解方程即可解决．b、当OM为对角线时，同法可得P（$\frac{7}{2}$t-4，t）．c、ON为对角线时，不存在；

解答 解：（1）由题意假设抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），
即y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．

（2）显然∠NCM≠90°．
①当∠MNC=90°，如图1中，作MH⊥AB于H．

∵MH∥OC，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AH}{AO}$=$\frac{MH}{OC}$，
∵AM=$\sqrt{5}$t，PA=4．OC=2，AC=2$\sqrt{5}$，
∴HM=t．AH=2t，HN=4-$\frac{3}{2}$t-2t=4-$\frac{7}{2}$t，
由△MNH∽△CNO，可得$\frac{HN}{CO}$=$\frac{MH}{NO}$，
∴$\frac{4-\frac{7}{2}t}{2}$=$\frac{t}{\frac{3}{2}t}$，
解得t=$\frac{16}{21}$，
当∠NMC=90°时，作MH⊥OA于H，如图2中，

由△AHM∽△MHN，可得HM²=AH•HN，
∴t²=2t•（4-$\frac{7}{2}$t），
解得t=1，
综上所述，t=$\frac{16}{21}$s或1s时，△CNM是直角三角形．

②由题意M（（2t-4，t），N（-$\frac{3}{2}$t，0），设P（m，n）．
a、当MN为对角线时，由中点坐标公式可知$\frac{m+0}{2}$=$\frac{2t-4-\frac{3}{2}t}{2}$，$\frac{n+0}{2}$=$\frac{t+0}{2}$，
解得m=$\frac{1}{2}$t-4，n=t，
∴P（$\frac{1}{2}$t-4，t），把点P坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，
∴t=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$t×（$\frac{1}{2}$t-5），
解得t=2或0（舍弃），
此时P（-3，2）．
b、当OM为对角线时，同法可得P（$\frac{7}{2}$t-4，t），
把点P坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，得到t=-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$t×（$\frac{7}{2}$t-5）
解得t=$\frac{62}{49}$．
此时P（$\frac{3}{7}$，$\frac{62}{49}$）．
c、ON为对角线时，不存在．
综上所述，满足条件的点P坐标P（-3，2）或（$\frac{3}{7}$，$\frac{62}{49}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、直角三角形的判定和性质、中点坐标公式、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用中点坐标公式解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．