Question

8．已知抛物线y=ax²-2ax+2a与y轴交于点C，顶点的纵坐标为1，直线y=-2x+4与x轴交于点E，与y轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为线段EF上一点，过点P作MN⊥EF，交抛物线于M、N两点，若PM=PN，求点P的坐标；
（3）如图2，直线y=kx（k＞0）与抛物线交于A、B两点（A、B不重合），与直线EF交于点R，若$\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}=\frac{t}{OR}$（t为常数），求t的值．

Answer 1

分析 （1）求出顶点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）由MN⊥EF，直线EF的解析式为y=-2x+4，可以假设直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，设P（m，$\frac{1}{2}$m+b），M（x₁，$\frac{1}{2}$x₁+b），N（x₂，$\frac{1}{2}$x₂+b），由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y={x}^{2}-2x+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-$\frac{5}{2}$x+2-b=0，推出x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，由PM=PN，可知m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，点P在直线y=-2x+4时，x=$\frac{5}{4}$时，y=$\frac{3}{2}$，由此即可解决问题；
（3）如图作AM⊥OE于M，RH⊥OE于H，BN⊥OE于N．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x₃，y₃）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=kx}\end{array}\right.$解得x₃=$\frac{4}{k+2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-2x+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-（2+k）x+2=0，推出x₁+x₂=2+k，x₁x₂=2，由AM∥RH∥BN，推出$\frac{OR}{OA}$=$\frac{{x}_{3}}{{x}_{1}}$，$\frac{OR}{OB}$=$\frac{{x}_{3}}{{x}_{2}}$，推出$\frac{OR}{OA}$+$\frac{OR}{OB}$=x₃（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=t，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+2a与y轴交于点C，顶点的纵坐标为1，
∴对称轴为x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，顶点坐标为（1，1），
把（1，1）代入抛物线y=ax²-2ax+2a得到a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+2．

（2）∵MN⊥EF，直线EF的解析式为y=-2x+4，
∴直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，设P（m，$\frac{1}{2}$m+b），M（x₁，$\frac{1}{2}$x₁+b），N（x₂，$\frac{1}{2}$x₂+b），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y={x}^{2}-2x+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-$\frac{5}{2}$x+2-b=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，
∵PM=PN，
∴m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，
∵点P在直线y=-2x+4时，x=$\frac{5}{4}$时，y=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

（3）如图作AM⊥OE于M，RH⊥OE于H，BN⊥OE于N．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x₃，y₃）．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=kx}\end{array}\right.$解得x₃=$\frac{4}{k+2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-2x+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-（2+k）x+2=0，
∴x₁+x₂=2+k，x₁x₂=2，
∵AM∥RH∥BN，
∴$\frac{OR}{OA}$=$\frac{{x}_{3}}{{x}_{1}}$，$\frac{OR}{OB}$=$\frac{{x}_{3}}{{x}_{2}}$，
∴$\frac{OR}{OA}$+$\frac{OR}{OB}$=x₃（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=t，
∴t=$\frac{4}{k+2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{k+2}$•$\frac{k+2}{2}$=2．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、二元二次方程组、一元二次方程的根的判别式，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把函数问题转化为方程组解决，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．