Question

3．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²（a≠0）经过点B（-2，4）．
（1）求a的值；
（2）作Rt△OAB，使∠BOA=90°，且OB=2OA，求点A坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作直线AC⊥x轴于点C，交抛物线y=ax²（a≠0）于点D，将该抛物线向左或向右平移t（t＞0）个单位长度，记平移后点D的对应点为D′，点B的对应点为B′．当CD′+OB′的值最小时，请直接写出t的值和平移后相应的抛物线解析式．

Answer 1

分析 （1）将点B（-2，4）代入y=ax²（a≠0）求解即可；
（2）当点A作第一象限时，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．先证明△BNO∽△OMA，依据相似三角形的性质可求得OM和AM的长，从而可得到点A的坐标；大概点A在第三象限内时，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N．同理可得到OM=1，MA=2，从而可得到点A的坐标；
（3）当点A在第三象限时，点B与点D重合，不成立；当点A在第一象限时，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，作点O关于y=4的对称点O′，连结EO′交x轴与点B′，由平移的性质可得到EB′=CD′，然后依据轴对称的性质可知OB′=O′B′，则当点O′、B′、E在一条直线上时CD′+OB′的值最小，从而可求得B′F=BB′=1，然后依据二次函数的平移规律可求得到平移后抛物线的解析式．

解答 解：（1）将点B（-2，4）代入y=ax²（a≠0）得4a=4，解得：a=1．
（2）如图①，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．

∴∠OMA=∠BNO=90°，
∴∠NBO+∠NOB=90°．
∵∠BOA=90°，
∴∠NOB+∠MOA=90°，
∴∠NBO=∠MOA，
∴△BNO∽△OMA，
∴$\frac{BN}{OM}=\frac{NO}{MA}=\frac{BO}{OA}=\frac{2}{1}$．
∵BN=4，NO=2，
∴OM=2，MA=1．
∴A点坐标为（2，1）．
如图②，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N．

同上可得OM=1，MA=2．
∴A点坐标为（-2，-1）．
综上所述，A点坐标为（2，1）或（-2，-1）．
（3）当点A在第三象限时，点B与点D重合，不成立．
如图③所示：过点B作BE⊥x轴，垂足为E，作点O关于y=4的对称点O′，连结EO′交x轴与点B′．

由平移的性质可知BB′=DD′=t，EB′=CD′．
∴OB′+CD′=OB′+B′E．
∵点O与点O′关于y=4对称，
∴O′（0，8），O′B′=OB′．
∴OB′+CD′=OB′+B′E=O′B′+B′E．
由两点之间线段最短可知当点B平移到点B′处时CD′+OB′的值最小．
∵F为OO′的中点，B′F∥OE，
∴B′F=$\frac{1}{2}$OE=1．
∴BB′=1．
∴t=1．
∴平移后抛物线的解析式为y=（x-1）²，即y=x²-2x+1．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、平移的性质、轴对称最短路径问题，找出CD′+OB′取的最小值的条件是解题的关键．