Question

1．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AD、CD上，△EFD为等边三角形，G是BE的中点，延长AG交BC于点H，已知AB=6，四边形GHCF的面积是△ABG的面积的2倍，则ED的长为9-3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 如图作，AP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，过点G作MN∥AB交AD于M，交BC于N，作MT⊥CD于T，连接CG．设DE=DF=EF=x．由题意根据S_△GCH+S_△GCF=S_△ABH，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图作，AP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，过点G作MN∥AB交AD于M，交BC于N，作MT⊥CD于T，连接CG．设DE=DF=EF=x．

则易知AP=3$\sqrt{3}$，GH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CH=x，CF=6-x，DM=$\frac{6+x}{2}$，MT=$\frac{\sqrt{3}（6+x）}{4}$，
由题意S_△GCH+S_△GCF=S_△ABH，
∴$\frac{1}{2}$•x•$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$•（6-x）•$\frac{\sqrt{3}（6+x）}{4}$=$\frac{1}{2}$•（6-x）•3$\sqrt{3}$，
整理得x²-18x+36=0，
解得x=9-3$\sqrt{5}$或9+3$\sqrt{5}$（舍弃），
∴DE=9-3$\sqrt{5}$，
故答案为9-3$\sqrt{5}$

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求面积，属于中考填空题中的压轴题．