Question

2．已知：正方形ABCD．
（1）如图①，E，F分别是边CD，AD上的一点，且AE⊥BF，求证：AE=BF．
（2）M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上，且MN=EF，那么MN⊥EF？请画图表示，并作简要说明：
（3）如图④，将正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，若已知该正方形边长为12，MN的长为13，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°，证出∠ABF=∠DAE，由ASA证明△BAF≌△ADE，得出对应边相等即可；
（2）过点E作EG⊥BC于点G，过点M作MP⊥CD于点P，设EF与MN相交于点O，MP与EF相交于点Q，由正方形的性质可得EG=MP，先利用“HL”证明Rt△EFG≌Rt△MNP，由全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG，再由角的关系推出∠EQM=∠MNP，由∠MNP+∠NMP=90°得出∠NMP+∠EQM=90°，得出∠MOQ=90°，由垂直的定义得出MN⊥EF，当E向D移动，F向B移动，同样使MN=EF，此时就不垂直；
（3）连接AE时，则线段MN垂直平分AE，过点B作BF∥MN，则BF=MN，且AE⊥BF，由（1）知AE=BF=MN=13，由勾股定理求出DE，即可得出CE的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∵∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△BAF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠DAE}\\{AD=AB}\\{∠ADE=∠BAF}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴AE=BF；                                        
（2）解：MN与EF不一定垂直；
如图1所示，当MN=EF时，MN⊥EF，
如图2所示，当MN=EF时，MN与EF就不垂直了；
理由如下：过点E作EG⊥BC于点G，过点M作MP⊥CD于点P，
设EF与MN相交于点O，MP与EF相交于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EG=MP，
在Rt△EFG和Rt△MNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{MN=EF}\\{EG=MP}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFG≌Rt△MNP（HL），
∴∠MNP=∠EFG，
∵MP⊥CD，∠C=90°，
∴MP∥BC，
∴∠EQM=∠EFG=∠MNP，
又∵∠MNP+∠NMP=90°，
∴∠EQM+∠NMP=90°，
在△MOQ中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP）=180°-90°=90°，
∴MN⊥EF，
当E向D移动，F向B移动，同样使MN=EF，此时就不垂直，
故此，MN与EF不一定垂直；                 
（3）解：如图3所示，连接AE，
则线段MN垂直平分AE，
过点B作BF∥MN，
则四边形MNBF是平行四边形，
∴BF=MN，且AE⊥BF，
由（1）知AE=BF=MN=13，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴CE=CD-DE=12-5=7．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强．