Question

11．如图，在正方形ABCD中，BD=BE，CE∥BD，BE交CD于F点，则∠DFE的度数为（　　）

• A． 45°
• B． 60°
• C． 75°
• D． 90°

Answer 1

分析 把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG；则∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，先证出C、A、G三点共线，得出∠DAG135°，∠BAG=∠DAG，由SAS证明△BAG≌△DAG，得出BG=DG，证出BG=DG=BE，即△BDG是等边三角形，得出∠GBD=60°，∠DBE=30°，再由三角形的外角性质求出∠DFE即可．

解答 解：把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG；如图所示：
则∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BAC=∠DAC=∠BDC=45°，AB=AD，
∵CE∥BD，
∴∠DCE=∠BDC=45°，
∴∠BCE=90°+45°=135°，
∴∠BAG=135°，
∴∠BAG=135°，
∴∠BAG+∠BAC=135°+45°=180°，
∴点C、A、G三点共线，
∴∠DAG=180°-45°=135°，
∴∠BAG=∠DAG，
在△BAG和△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠DAG}&{\;}\\{AG=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△DAG（SAS），
∴BG=DG，
∵BD=BE，
∴BG=DG=BE，
即△BDG是等边三角形，
∴∠GBD=60°，
∴∠DBE=90°-60°=30°，
∴∠DFE=∠DBE+∠BDC=°+45°=75°．
故选：C．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．