Question

14．一次函数y=kx-4k交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点C，当k变化时，作点C关于x轴对称的点M，CB交AM于B，交x轴于D，且2∠OCD=∠CAO，求AB+AC的值．

Answer 1

分析 作∠OAC的平分线AE，作EF⊥AC于F，根据勾股定理求得AC，根据角平分线的性质求得AF=OA=4，EF=EO，从而求得CF=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$-4，在RT△CEF中，根据勾股定理求得CE=$\frac{4}{k}$[$\sqrt{1+{k}^{2}}$-（$\sqrt{1+{k}^{2}}$）²]，然后根据△CMB∽△ACE，对应边成比例求得BM=-8（1-$\sqrt{1+{k}^{2}}$），则AB+AC=2AC-BM=8．

解答 解：作∠OAC的平分线AE，作EF⊥AC于F，
由一次函数y=kx-4k可知，A（4，0），C（0，-4k），
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+（4k）^{2}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
由角平分线的性质可知：AF=OA=4，EF=EO，
∴CF=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$-4，
设CE=x，则EF=OE=-4k-x，
∵CE²=CF²+EF²
∴x²=（4$\sqrt{1+{k}^{2}}$-4）²+（-4k-x）²，
解得x=$\frac{4}{k}$[$\sqrt{1+{k}^{2}}$-（$\sqrt{1+{k}^{2}}$）²]，
∴CE=$\frac{4}{k}$[$\sqrt{1+{k}^{2}}$-（$\sqrt{1+{k}^{2}}$）²]，
∵∠CAE=∠OCD，∠ACE=∠CMB，
∴△CMB∽△ACE，
∴$\frac{BM}{CE}$=$\frac{CM}{AC}$，
∵点M是点C关于x轴对称的点，
∴CM=-4k×2=-8k，
即$\frac{BM}{\frac{4}{k}[\sqrt{1+{k}^{2}}-（\sqrt{1+{k}^{2}}）^{2}]}$=$\frac{-8k}{4\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴BM=-8（1-$\sqrt{1+{k}^{2}}$），
∴AB+AC=2AC-BM=2×4$\sqrt{1+{k}^{2}}$+8（1-$\sqrt{1+{k}^{2}}$）=8．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．