题目内容

已知关于x的二次函数y=mx2+2mx+n的图象经过A（-3，0），C（0，-6）．
（1）求抛物线的对称轴及解析式；
（2）设二次函数与x轴的另一个交点为B，过点O作CB的垂线与抛物线交于点M，求M点的坐标；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请结合新图象回答：当直线y=x+b与这个新图象有两个公共点时，求b的取值范围．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）把A（-3，0），C（0，-6）代入二次函数y=mx2+2mx+n求解即可；
（2）作MD⊥OB于点D，利用正余弦的值求解即可；
（3）分两种情况：①当直线y=x+b与x轴交点在A，B之间时，与这个新图象有两个公共点时；②二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折的解析式为y=-2x2-4x+6，由直线y=x+b与y=-2x2-4x+6，只有一个交点可求x+b=-2x2-4x+6，利用△=0，求解即可．
解答：解：（1）∵二次函数y=mx2+2mx+n的图象经过A（-3，0），C（0，-6）．
∴
0=9m-6m+n
-6=n
，解得
m=2
n=-6
，
∴抛物线的解析式为y=2x2+4x-6，
∴抛物线的对称轴x=-1．
（2）如图1，作MD⊥OB于点D，

∵OC=6，OB=1，
∴BC=
OC2+OB2
=
37
，
∴sin∠BCO=
1
37
，cos∠BCO=
6
37

∴OM=OC•sin∠BCO=
6
37
，
∴DM=OM•sin∠BCO=
6
37
×
1
37
=
6
37
，
OD=OM•cos∠BCO=
6
37
×
6
37
=
36
37
，
∴M（
6
37
，
36
37
）．
（3）如图2，

①当直线y=x+b与x轴交点在A，B之间时，与这个新图象有两个公共点时，即-1＜b＜3，
②二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折的解析式为y=-2x2-4x+6，
由直线y=x+b与y=-2x2-4x+6，只有一个交点可求x+b=-2x2-4x+6中△=0，即25-4×2（b-6）=0，解得b=
73
8
，
所以当b＞
73
8
时，直线y=x+b与这个新图象有两个公共点．
点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．
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定义：函数y=x（x＞0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，x1、x2 均为整数，AB=4
2
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[探究]
若线段AB的共生抛物线与x轴的两个交点为E（m，0），F（n，0），其中m＜n，且m、n均为整数，我们称此时的抛物线为完美共生抛物线，求m最小时，线段AB的完美共生抛物线的函数关系式，并求出此时△ABC的面积．
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（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求AC的长（结果可保留根号）；
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如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积为S，用含m的代数式表示S．
在△ABBC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，求证：BF=
1
2
FC．
自主观察：观察下列等式：
第1个等式：a1=
1
1×3
=
1
2
（1-
1
3
）；第2个等式：a2=
1
3×5
=
1
2
（
1
3
-
1
5
）；
第3个等式：a3=
1
5×7
=
1
2
（
1
5
-
1
7
）；第 4个等式：a4=
1
7×9
=
1
2
（
1
7
-
1
9
）；…
探究发现：请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=
 
=
 
；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=
 
=
 
（n为正整数）；
解决问题：
（3）求a1+a2+a3+a4…+a20的值．
如图，一次函数y=-
1
2
x+1的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）A点坐标为
 
，B点坐标为
 
；
（2）过点C作x轴垂线，交x轴于点D，
①证明△ABO≌△CAD；
②求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
1-
1
2
=
1
2
，2-
2
5
=
8
5
，3-
3
10
=
27
10
，4-
4
17
=
64
17
…依你发现的规律，解答下列各题．
（1）写出第5个等式；
（2）第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？

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