Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，∠ACD=30°．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求AC的长（结果可保留根号）；
（3）求菱形ABCD的面积（结果可保留根号）

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）首先根据菱形的性质得到△ABD是等腰三角形，然后得到∠DAB=60°，从而判定等边三角形；
（2）在直角三角形AOD中求得AO的长即可求得对角线AC的长；
（3）利用对角线的乘积的一半等于菱形的面积计算即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠ACD=30°，
∴∠DAB=∠DCB=60°，
∴△ABD是等边三角形；

（2）∵BD=6，
∴OD=3，
∵∠DAC=∠DCA=30°，
∴AO=3

3

，
∴AC=2AO=6

3

；

（3）S菱形=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×6

3

=18

3

．

点评：本题考查了菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，难度不大．