Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c 与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积为S，用含m的代数式表示S．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线 的对称轴为直线x=1．与x轴的一个交点为A的坐标，可得与x轴的另一个交点为B的坐标，再把三点代入y=ax²+bx+c 求解即可，
（2）分两种情况当AC=CM时，②当AC=CM时，分别求解即可，
（3）先求出直线BC与BD的解析式，再分两种情况①当0＜m≤

3

2

时，②当

3

2

＜m＜3时求解即可．

解答：解：∵抛物线y=ax²+bx+c 的对称轴为直线x=1．与x轴的一个交点为A（-1，0），
∴与x轴的另一个交点为B（3，0），
∵与y轴的交点为C（0，-3），
∴

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）①当AC=AM时，M（0，3），
②当AC=CM时，M（0，-

10

-3）或M（0，

10

-3），
所以点M的坐标为（0，3），（0，-

10

-3）或M（0，

10

-3），
（3）记平移后的三角形为△EFG，设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0 b=-3

，解得

k=1 b=-3

，
则直线BC的解析式为y=x-3，
∵△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形△EFG，
∴易得y=x-3-m，
设直线BD的解析式为y=k′x+b′，则

3k′+b′=0 k′+b′=-4

，解得

k′=2 b′=-6

，
直线BD的解析式为y=2x-6，
连接CG，直线CG交BD于H，则H（

3

2

，-3），在△OBC沿x轴向右平移的过程中，
①当0＜m≤

3

2

时，如图1所示，

设EG交BC于点P，GF交BD于点Q，
则CG=BF=m，BE=PE=3-m，联立

y=2x-6 y=x-3-m

，解得

x=3-m y=-2m

，
即点Q（3-m，-2m），
S=S_△EFG-S_△EPB-S_△BFQ
=

9

2

-

1

2

（3-m）²-

1

2

m•2m，
=-

3

2

m²+3m，
②当

3

2

＜m＜3时，如图2所示，

设EG交BC于点P，交BD于点N，
则OE=m，BE=PE=3-m，
∵直线BD的解析式为y=2x-6，
∴当x=m时，y=2m-6，
∴点N（m，2m-6），
∴S=S_△EBN-S_△EPB
=

1

2

（3-m）（6-2m）-

1

2

（3-m）²，
=

1

2

（3-m）²，
=-

1

2

m²-3m+

9

2

，
综上所述：当

3

2

＜m≤3时，S=-

3

2

m²+3m，当

3

2

＜m＜3时，S=-

1

2

m²-3m+

9

2

，

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．